Exponenciação com Expoentes inteiros negativos

Exponenciação com Expoentes inteiros negativos

Em uma aula de “Sistemas de numeração e conversão de bases – Decimal e binário”, me deparei com uma Conversão do sistema binário para o sistema decimal com números fracionários.

Converter 111,0101₂ para decimal

• 111,0101₂ = 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ + 0 x 2^-1 + 1 x 2^-2 + 0 x 2^-3 + 1 x 2^-4

Exponenciação de números inteiros positivos: 2³ = 2x2x2=8

Agora, como realizar a conta com Expoentes inteiros negativos?

A regra é a seguinte:

A exponenciação com expoentes inteiros negativos segue uma regra simples, que é a inversão do número elevado à potência positiva. Ou seja, para qualquer número $a$ e um expoente negativo $-n$, a operação se torna:

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}a−n=an1​

Isso significa que a base $a$ elevada a um expoente negativo é igual a 1 dividido pela base elevada ao expoente positivo correspondente.

Exemplo prático:

Vamos aplicar a regra para o número 2 elevado a um expoente negativo. Suponha que temos:

2−32^{-3}2−3

Para calcular isso, utilizamos a regra da inversão:

2−3=123=12×2×2=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{8}2−3=231​=2×2×21​=81​

Portanto, 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8}2−3=81​.

Agora, se quisermos aplicar essa ideia a números binários com expoentes negativos, como na sua conversão de binário para decimal:

Exemplo de conversão de 111,0101₂ para decimal

Vamos relembrar como a conversão de um número binário fracionário funciona:

O número binário 111,01012111,0101_2111,01012​ pode ser expandido da seguinte forma:

111,01012=1×22+1×21+1×20+0×2−1+1×2−2+0×2−3+1×2−4111,0101_2 = 1 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 0 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 0 \times 2^{-3} + 1 \times 2^{-4}111,01012​=1×22+1×21+1×20+0×2−1+1×2−2+0×2−3+1×2−4

Aqui, temos expoentes negativos e positivos. Vamos calcular passo a passo:

1. Parte inteira:

   • 1×22=41 \times 2^2 = 41×22=4
   • 1×21=21 \times 2^1 = 21×21=2
   • 1×20=11 \times 2^0 = 11×20=1

   Então, a parte inteira é $4+2+1=7$.

2. Parte fracionária:

   • 0×2−1=00 \times 2^{-1} = 00×2−1=0
   • 1×2−2=14=0.251 \times 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0.251×2−2=41​=0.25
   • 0×2−3=00 \times 2^{-3} = 00×2−3=0
   • 1×2−4=116=0.06251 \times 2^{-4} = \frac{1}{16} = 0.06251×2−4=161​=0.0625

   A parte fracionária é $0+0.25+0+0.0625=0.3125$.

Portanto, a conversão de 111,01012111,0101_2111,01012​ para decimal é:

111,01012=7+0.3125=7.3125111,0101_2 = 7 + 0.3125 = 7.3125111,01012​=7+0.3125=7.3125

Conclusão: Ao lidar com expoentes negativos, é importante lembrar que eles indicam a operação de divisão sucessiva. Para expoentes binários negativos, a conversão é feita da mesma maneira que fazemos com os números decimais: aplicamos a fórmula da exponenciação negativa e somamos os resultados das partes inteira e fracionária para chegar ao número final.

Fabio Bmed

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